Création d’un miroir parabolique (théorie) radiotelescope

Dans le cadre de la création d’un radiotélescope nous allons étudier la théorie des paraboles de la manière la plus simple possible. Je précise que j’ai reçu de l’aide pour la création de cet article, n’étant pas assez calé en mathématiques pour le réaliser tous seuls.

Comprendre la parabole

Pour construire une parabole il va falloir une droite (A,B) appeler directrice et un foyer C. La directrice est perpendiculaire au rayons à observer, cette droite (ou plan en 3d) pointe donc vers notre source.

Il y a une règle, il faut que les droites EC et ED soit d’égale longueur. C’est la définition de la parabole.

Avec cette règle tous les rayons (en vert) entrant dans la parabole seront redirigés vers le foyer.

Déterminer sa parabole avec un récepteur centré

Cette antenne a son récepteur centré. Il s’agit d’une parabole en configuration prime focus. Il est plus simple de la calculer.

 

 

 

En 2D pour commencer

Pour cette exemple nous allons choisir un foyer à 4m du centre de la parabole donc (0, 4). Choisir une droite directrice qui sera a la distance inverse du foyer donc -4m. La directrice est une droite (en 2d un plan en 3d) qui doit être perpendiculaire en rayons que nous voulons recevoir. Elle est nommée d’.

Comme vu ci-dessus nous voulons que ED = EC nous allons utiliser la formule de la distance qui est une application de Pythagore :

$\sqrt{(x1–x2)² + (y1–y2)²}$

(x1, y1) : le point de la parabole et (x2, y2) : le foyer

La distance de EC =

$\sqrt{(x – 0)² + (y – 4)²}$

ED est toujours perpendiculaire a la directrice puisqu’il pointe vers la source que la parabole doit capté. Ainsi x est supprimé de la formule pour ED.

ED =

$\sqrt{(y– (–4\left)\right)²}$

Bien nous avons EC et ED mais nous cherchons à trouver y en fonction de x avec EC = ED

$\sqrt{(y –(–4\left)\right)² } = \sqrt{(x – 0)² + (y – 4)²}$

On simplifie:

$$\begin{gathered} (y + 4)² = x² + (y – 4)² \\ y² +8y +16 = x²+ y² –8y +16 \\ 16y = x² \\ y = x²/16 \end{gathered}$$

Grace a cette formule vous allez pouvoir positionner les points de votre parabole pour un foyer a 4m.

Maintenant en 3d

Avec un foyer en (0, 4, 0):

$$\begin{gathered} \sqrt{(y –(–4\left)\right)² } = \sqrt{(x –(0\left)\right)² + (y – 4)² + (z – 0})² \\ y² +8y +16 = x²+ y² –8y +16 + z² \\ y = (z² + x²)/16 \end{gathered}$$

Exemple pour le point de notre parabole a (1,1)  m = 0,125m = 12,5cm

 

Le point de la parabole a 1m sur le coté et 1m de hauteur sera donc a 12,5cm du plan bleu.

 

 

Déterminer sa parabole avec un récepteur non centré et une directrice penché

Ce télescope à son récepteur décalé de son centre. Il s’agit d’une configuration en offset.

Les calcules sont en peu plus complexe mais reste sur le même principe.

 

 

En 2d pour commencer:

Avec un foyer à (10,20)

Déterminons l’équation de la droite directrice :

$$\begin{gathered} y = ax + b \\ a = (y1–y2)/(x1–x2) et b = y2 –ax2 \end{gathered}$$

Avec A(-15, -10) et B(10, -5)

$$\begin{gathered} a = (–10 – (–5\left)\right)/(–15 – 10) \\ a = –5/–25 \\ a = 0,2 \\ b = –5 – (0,2*10) \\ b = –7 \end{gathered}$$

donc l’équation de la droite est

$y = 0,2x – 7$

Reprenons notre équations de la parabole

$(\frac{y–(0.2x–7)+0.2x–7}{5})²+(y–(0.2(\frac{y–(0.2x–7)+0.2x–7}{5})+x)–7))²=(x–10)²+(y–20)²$

J’isole y avec Wolfram :

$y=\frac{5}{12} (–12x–25\times \sqrt{2} \sqrt{2177–30x}+1670)$

en 3d :

$(\frac{y–(0.2x–7)+0.2x–7}{5})²+(y–(0.2(\frac{y–(0.2x–7)+0.2x–7}{5})+x)–7))²+(y–(0.2(\frac{y–(0.2z–7)+0.2z–7}{5})+z)–7))²=z²+(x–10)²+(y–20)²$

Wolframe :

$–0.96x^2–0.384xy+17.2x+0.8832y^2–0.384yz+66.88y–0.96z^2–2.8z–402=0$

puis

$–0.96x^2+17.2x–0.96z^2–2.8z–402=y(0.96x +0.96z +17.2) –0.384y²$

 

Un petit script python et on à nos coordonnées pour construire notre réflecteur.